sshbn.c

   1 /*
   2  * Bignum routines for RSA and DH and stuff.
   3  */
   4
   5 #include <stdio.h>
   6 #include <stdlib.h>
   7 #include <string.h>
   8
   9 #include "ssh.h"
  10
  11 unsigned short bnZero[1] = { 0 };
  12 unsigned short bnOne[2] = { 1, 1 };
  13
  14 /*
  15  * The Bignum format is an array of `unsigned short'. The first
  16  * element of the array counts the remaining elements. The
  17  * remaining elements express the actual number, base 2^16, _least_
  18  * significant digit first. (So it's trivial to extract the bit
  19  * with value 2^n for any n.)
  20  *
  21  * All Bignums in this module are positive. Negative numbers must
  22  * be dealt with outside it.
  23  *
  24  * INVARIANT: the most significant word of any Bignum must be
  25  * nonzero.
  26  */
  27
  28 Bignum Zero = bnZero, One = bnOne;
  29
  30 Bignum newbn(int length) {
  31     Bignum b = malloc((length+1)*sizeof(unsigned short));
  32     if (!b)
  33         abort();                       /* FIXME */
  34     memset(b, 0, (length+1)*sizeof(*b));
  35     b[0] = length;
  36     return b;
  37 }
  38
  39 Bignum copybn(Bignum orig) {
  40     Bignum b = malloc((orig[0]+1)*sizeof(unsigned short));
  41     if (!b)
  42         abort();                       /* FIXME */
  43     memcpy(b, orig, (orig[0]+1)*sizeof(*b));
  44     return b;
  45 }
  46
  47 void freebn(Bignum b) {
  48     /*
  49      * Burn the evidence, just in case.
  50      */
  51     memset(b, 0, sizeof(b[0]) * (b[0] + 1));
  52     free(b);
  53 }
  54
  55 /*
  56  * Compute c = a * b.
  57  * Input is in the first len words of a and b.
  58  * Result is returned in the first 2*len words of c.
  59  */
  60 static void internal_mul(unsigned short *a, unsigned short *b,
  61                          unsigned short *c, int len)
  62 {
  63     int i, j;
  64     unsigned long ai, t;
  65
  66     for (j = 0; j < 2*len; j++)
  67         c[j] = 0;
  68
  69     for (i = len - 1; i >= 0; i--) {
  70         ai = a[i];
  71         t = 0;
  72         for (j = len - 1; j >= 0; j--) {
  73             t += ai * (unsigned long) b[j];
  74             t += (unsigned long) c[i+j+1];
  75             c[i+j+1] = (unsigned short)t;
  76             t = t >> 16;
  77         }
  78         c[i] = (unsigned short)t;
  79     }
  80 }
  81
  82 static void internal_add_shifted(unsigned short *number,
  83                                 unsigned n, int shift) {
  84     int word = 1 + (shift / 16);
  85     int bshift = shift % 16;
  86     unsigned long addend;
  87
  88     addend = n << bshift;
  89
  90     while (addend) {
  91         addend += number[word];
  92         number[word] = (unsigned short) addend & 0xFFFF;
  93         addend >>= 16;
  94         word++;
  95     }
  96 }
  97
  98 /*
  99  * Compute a = a % m.
 100  * Input in first alen words of a and first mlen words of m.
 101  * Output in first alen words of a
 102  * (of which first alen-mlen words will be zero).
 103  * The MSW of m MUST have its high bit set.
 104  * Quotient is accumulated in the `quotient' array, which is a Bignum
 105  * rather than the internal bigendian format. Quotient parts are shifted
 106  * left by `qshift' before adding into quot.
 107  */
 108 static void internal_mod(unsigned short *a, int alen,
 109                          unsigned short *m, int mlen,
 110                          unsigned short *quot, int qshift)
 111 {
 112     unsigned short m0, m1;
 113     unsigned int h;
 114     int i, k;
 115
 116     m0 = m[0];
 117     if (mlen > 1)
 118         m1 = m[1];
 119     else
 120         m1 = 0;
 121
 122     for (i = 0; i <= alen-mlen; i++) {
 123         unsigned long t;
 124         unsigned int q, r, c, ai1;
 125
 126         if (i == 0) {
 127             h = 0;
 128         } else {
 129             h = a[i-1];
 130             a[i-1] = 0;
 131         }
 132
 133         if (i == alen-1)
 134             ai1 = 0;
 135         else
 136             ai1 = a[i+1];
 137
 138         /* Find q = h:a[i] / m0 */
 139         t = ((unsigned long) h << 16) + a[i];
 140         q = t / m0;
 141         r = t % m0;
 142
 143         /* Refine our estimate of q by looking at
 144          h:a[i]:a[i+1] / m0:m1 */
 145         t = (long) m1 * (long) q;
 146         if (t > ((unsigned long) r << 16) + ai1) {
 147             q--;
 148             t -= m1;
 149             r = (r + m0) & 0xffff; /* overflow? */
 150             if (r >= (unsigned long)m0 &&
 151                 t > ((unsigned long) r << 16) + ai1)
 152                 q--;
 153         }
 154
 155         /* Subtract q * m from a[i...] */
 156         c = 0;
 157         for (k = mlen - 1; k >= 0; k--) {
 158             t = (long) q * (long) m[k];
 159             t += c;
 160             c = t >> 16;
 161             if ((unsigned short) t > a[i+k]) c++;
 162             a[i+k] -= (unsigned short) t;
 163         }
 164
 165         /* Add back m in case of borrow */
 166         if (c != h) {
 167             t = 0;
 168             for (k = mlen - 1; k >= 0; k--) {
 169                 t += m[k];
 170                 t += a[i+k];
 171                 a[i+k] = (unsigned short)t;
 172                 t = t >> 16;
 173             }
 174             q--;
 175         }
 176         if (quot)
 177             internal_add_shifted(quot, q, qshift + 16 * (alen-mlen-i));
 178     }
 179 }
 180
 181 /*
 182  * Compute (base ^ exp) % mod.
 183  * The base MUST be smaller than the modulus.
 184  * The most significant word of mod MUST be non-zero.
 185  * We assume that the result array is the same size as the mod array.
 186  */
 187 void modpow(Bignum base, Bignum exp, Bignum mod, Bignum result)
 188 {
 189     unsigned short *a, *b, *n, *m;
 190     int mshift;
 191     int mlen, i, j;
 192
 193     /* Allocate m of size mlen, copy mod to m */
 194     /* We use big endian internally */
 195     mlen = mod[0];
 196     m = malloc(mlen * sizeof(unsigned short));
 197     for (j = 0; j < mlen; j++) m[j] = mod[mod[0] - j];
 198
 199     /* Shift m left to make msb bit set */
 200     for (mshift = 0; mshift < 15; mshift++)
 201         if ((m[0] << mshift) & 0x8000) break;
 202     if (mshift) {
 203         for (i = 0; i < mlen - 1; i++)
 204             m[i] = (m[i] << mshift) | (m[i+1] >> (16-mshift));
 205         m[mlen-1] = m[mlen-1] << mshift;
 206     }
 207
 208     /* Allocate n of size mlen, copy base to n */
 209     n = malloc(mlen * sizeof(unsigned short));
 210     i = mlen - base[0];
 211     for (j = 0; j < i; j++) n[j] = 0;
 212     for (j = 0; j < base[0]; j++) n[i+j] = base[base[0] - j];
 213
 214     /* Allocate a and b of size 2*mlen. Set a = 1 */
 215     a = malloc(2 * mlen * sizeof(unsigned short));
 216     b = malloc(2 * mlen * sizeof(unsigned short));
 217     for (i = 0; i < 2*mlen; i++) a[i] = 0;
 218     a[2*mlen-1] = 1;
 219
 220     /* Skip leading zero bits of exp. */
 221     i = 0; j = 15;
 222     while (i < exp[0] && (exp[exp[0] - i] & (1 << j)) == 0) {
 223         j--;
 224         if (j < 0) { i++; j = 15; }
 225     }
 226
 227     /* Main computation */
 228     while (i < exp[0]) {
 229         while (j >= 0) {
 230             internal_mul(a + mlen, a + mlen, b, mlen);
 231             internal_mod(b, mlen*2, m, mlen, NULL, 0);
 232             if ((exp[exp[0] - i] & (1 << j)) != 0) {
 233                 internal_mul(b + mlen, n, a, mlen);
 234                 internal_mod(a, mlen*2, m, mlen, NULL, 0);
 235             } else {
 236                 unsigned short *t;
 237                 t = a;  a = b;  b = t;
 238             }
 239             j--;
 240         }
 241         i++; j = 15;
 242     }
 243
 244     /* Fixup result in case the modulus was shifted */
 245     if (mshift) {
 246         for (i = mlen - 1; i < 2*mlen - 1; i++)
 247             a[i] = (a[i] << mshift) | (a[i+1] >> (16-mshift));
 248         a[2*mlen-1] = a[2*mlen-1] << mshift;
 249         internal_mod(a, mlen*2, m, mlen, NULL, 0);
 250         for (i = 2*mlen - 1; i >= mlen; i--)
 251             a[i] = (a[i] >> mshift) | (a[i-1] << (16-mshift));
 252     }
 253
 254     /* Copy result to buffer */
 255     for (i = 0; i < mlen; i++)
 256         result[result[0] - i] = a[i+mlen];
 257
 258     /* Free temporary arrays */
 259     for (i = 0; i < 2*mlen; i++) a[i] = 0; free(a);
 260     for (i = 0; i < 2*mlen; i++) b[i] = 0; free(b);
 261     for (i = 0; i < mlen; i++) m[i] = 0; free(m);
 262     for (i = 0; i < mlen; i++) n[i] = 0; free(n);
 263 }
 264
 265 /*
 266  * Compute (p * q) % mod.
 267  * The most significant word of mod MUST be non-zero.
 268  * We assume that the result array is the same size as the mod array.
 269  */
 270 void modmul(Bignum p, Bignum q, Bignum mod, Bignum result)
 271 {
 272     unsigned short *a, *n, *m, *o;
 273     int mshift;
 274     int pqlen, mlen, i, j;
 275
 276     /* Allocate m of size mlen, copy mod to m */
 277     /* We use big endian internally */
 278     mlen = mod[0];
 279     m = malloc(mlen * sizeof(unsigned short));
 280     for (j = 0; j < mlen; j++) m[j] = mod[mod[0] - j];
 281
 282     /* Shift m left to make msb bit set */
 283     for (mshift = 0; mshift < 15; mshift++)
 284         if ((m[0] << mshift) & 0x8000) break;
 285     if (mshift) {
 286         for (i = 0; i < mlen - 1; i++)
 287             m[i] = (m[i] << mshift) | (m[i+1] >> (16-mshift));
 288         m[mlen-1] = m[mlen-1] << mshift;
 289     }
 290
 291     pqlen = (p[0] > q[0] ? p[0] : q[0]);
 292
 293     /* Allocate n of size pqlen, copy p to n */
 294     n = malloc(pqlen * sizeof(unsigned short));
 295     i = pqlen - p[0];
 296     for (j = 0; j < i; j++) n[j] = 0;
 297     for (j = 0; j < p[0]; j++) n[i+j] = p[p[0] - j];
 298
 299     /* Allocate o of size pqlen, copy q to o */
 300     o = malloc(pqlen * sizeof(unsigned short));
 301     i = pqlen - q[0];
 302     for (j = 0; j < i; j++) o[j] = 0;
 303     for (j = 0; j < q[0]; j++) o[i+j] = q[q[0] - j];
 304
 305     /* Allocate a of size 2*pqlen for result */
 306     a = malloc(2 * pqlen * sizeof(unsigned short));
 307
 308     /* Main computation */
 309     internal_mul(n, o, a, pqlen);
 310     internal_mod(a, pqlen*2, m, mlen, NULL, 0);
 311
 312     /* Fixup result in case the modulus was shifted */
 313     if (mshift) {
 314         for (i = 2*pqlen - mlen - 1; i < 2*pqlen - 1; i++)
 315             a[i] = (a[i] << mshift) | (a[i+1] >> (16-mshift));
 316         a[2*pqlen-1] = a[2*pqlen-1] << mshift;
 317         internal_mod(a, pqlen*2, m, mlen, NULL, 0);
 318         for (i = 2*pqlen - 1; i >= 2*pqlen - mlen; i--)
 319             a[i] = (a[i] >> mshift) | (a[i-1] << (16-mshift));
 320     }
 321
 322     /* Copy result to buffer */
 323     for (i = 0; i < mlen; i++)
 324         result[result[0] - i] = a[i+2*pqlen-mlen];
 325
 326     /* Free temporary arrays */
 327     for (i = 0; i < 2*pqlen; i++) a[i] = 0; free(a);
 328     for (i = 0; i < mlen; i++) m[i] = 0; free(m);
 329     for (i = 0; i < pqlen; i++) n[i] = 0; free(n);
 330     for (i = 0; i < pqlen; i++) o[i] = 0; free(o);
 331 }
 332
 333 /*
 334  * Compute p % mod.
 335  * The most significant word of mod MUST be non-zero.
 336  * We assume that the result array is the same size as the mod array.
 337  * We optionally write out a quotient.
 338  */
 339 void bigmod(Bignum p, Bignum mod, Bignum result, Bignum quotient)
 340 {
 341     unsigned short *n, *m;
 342     int mshift;
 343     int plen, mlen, i, j;
 344
 345     /* Allocate m of size mlen, copy mod to m */
 346     /* We use big endian internally */
 347     mlen = mod[0];
 348     m = malloc(mlen * sizeof(unsigned short));
 349     for (j = 0; j < mlen; j++) m[j] = mod[mod[0] - j];
 350
 351     /* Shift m left to make msb bit set */
 352     for (mshift = 0; mshift < 15; mshift++)
 353         if ((m[0] << mshift) & 0x8000) break;
 354     if (mshift) {
 355         for (i = 0; i < mlen - 1; i++)
 356             m[i] = (m[i] << mshift) | (m[i+1] >> (16-mshift));
 357         m[mlen-1] = m[mlen-1] << mshift;
 358     }
 359
 360     plen = p[0];
 361     /* Ensure plen > mlen */
 362     if (plen <= mlen) plen = mlen+1;
 363
 364     /* Allocate n of size plen, copy p to n */
 365     n = malloc(plen * sizeof(unsigned short));
 366     for (j = 0; j < plen; j++) n[j] = 0;
 367     for (j = 1; j <= p[0]; j++) n[plen-j] = p[j];
 368
 369     /* Main computation */
 370     internal_mod(n, plen, m, mlen, quotient, mshift);
 371
 372     /* Fixup result in case the modulus was shifted */
 373     if (mshift) {
 374         for (i = plen - mlen - 1; i < plen - 1; i++)
 375             n[i] = (n[i] << mshift) | (n[i+1] >> (16-mshift));
 376         n[plen-1] = n[plen-1] << mshift;
 377         internal_mod(n, plen, m, mlen, quotient, 0);
 378         for (i = plen - 1; i >= plen - mlen; i--)
 379             n[i] = (n[i] >> mshift) | (n[i-1] << (16-mshift));
 380     }
 381
 382     /* Copy result to buffer */
 383     for (i = 1; i <= result[0]; i++) {
 384         int j = plen-i;
 385         result[i] = j>=0 ? n[j] : 0;
 386     }
 387
 388     /* Free temporary arrays */
 389     for (i = 0; i < mlen; i++) m[i] = 0; free(m);
 390     for (i = 0; i < plen; i++) n[i] = 0; free(n);
 391 }
 392
 393 /*
 394  * Decrement a number.
 395  */
 396 void decbn(Bignum bn) {
 397     int i = 1;
 398     while (i < bn[0] && bn[i] == 0)
 399         bn[i++] = 0xFFFF;
 400     bn[i]--;
 401 }
 402
 403 /*
 404  * Read an ssh1-format bignum from a data buffer. Return the number
 405  * of bytes consumed.
 406  */
 407 int ssh1_read_bignum(unsigned char *data, Bignum *result) {
 408     unsigned char *p = data;
 409     Bignum bn;
 410     int i;
 411     int w, b;
 412
 413     w = 0;
 414     for (i=0; i<2; i++)
 415         w = (w << 8) + *p++;
 416
 417     b = (w+7)/8;                       /* bits -> bytes */
 418     w = (w+15)/16;                     /* bits -> words */
 419
 420     if (!result)                       /* just return length */
 421         return b + 2;
 422
 423     bn = newbn(w);
 424
 425     for (i=1; i<=w; i++)
 426         bn[i] = 0;
 427     for (i=b; i-- ;) {
 428         unsigned char byte = *p++;
 429         if (i & 1)
 430             bn[1+i/2] |= byte<<8;
 431         else
 432             bn[1+i/2] |= byte;
 433     }
 434
 435     *result = bn;
 436
 437     return p - data;
 438 }
 439
 440 /*
 441  * Return the bit count of a bignum, for ssh1 encoding.
 442  */
 443 int ssh1_bignum_bitcount(Bignum bn) {
 444     int bitcount = bn[0] * 16 - 1;
 445
 446     while (bitcount >= 0 && (bn[bitcount/16+1] >> (bitcount % 16)) == 0)
 447         bitcount--;
 448     return bitcount + 1;
 449 }
 450
 451 /*
 452  * Return the byte length of a bignum when ssh1 encoded.
 453  */
 454 int ssh1_bignum_length(Bignum bn) {
 455     return 2 + (ssh1_bignum_bitcount(bn)+7)/8;
 456 }
 457
 458 /*
 459  * Return a byte from a bignum; 0 is least significant, etc.
 460  */
 461 int bignum_byte(Bignum bn, int i) {
 462     if (i >= 2*bn[0])
 463         return 0;                      /* beyond the end */
 464     else if (i & 1)
 465         return (bn[i/2+1] >> 8) & 0xFF;
 466     else
 467         return (bn[i/2+1]     ) & 0xFF;
 468 }
 469
 470 /*
 471  * Return a bit from a bignum; 0 is least significant, etc.
 472  */
 473 int bignum_bit(Bignum bn, int i) {
 474     if (i >= 16*bn[0])
 475         return 0;                      /* beyond the end */
 476     else
 477         return (bn[i/16+1] >> (i%16)) & 1;
 478 }
 479
 480 /*
 481  * Set a bit in a bignum; 0 is least significant, etc.
 482  */
 483 void bignum_set_bit(Bignum bn, int bitnum, int value) {
 484     if (bitnum >= 16*bn[0])
 485         abort();                       /* beyond the end */
 486     else {
 487         int v = bitnum/16+1;
 488         int mask = 1 << (bitnum%16);
 489         if (value)
 490             bn[v] |= mask;
 491         else
 492             bn[v] &= ~mask;
 493     }
 494 }
 495
 496 /*
 497  * Write a ssh1-format bignum into a buffer. It is assumed the
 498  * buffer is big enough. Returns the number of bytes used.
 499  */
 500 int ssh1_write_bignum(void *data, Bignum bn) {
 501     unsigned char *p = data;
 502     int len = ssh1_bignum_length(bn);
 503     int i;
 504     int bitc = ssh1_bignum_bitcount(bn);
 505
 506     *p++ = (bitc >> 8) & 0xFF;
 507     *p++ = (bitc     ) & 0xFF;
 508     for (i = len-2; i-- ;)
 509         *p++ = bignum_byte(bn, i);
 510     return len;
 511 }
 512
 513 /*
 514  * Compare two bignums. Returns like strcmp.
 515  */
 516 int bignum_cmp(Bignum a, Bignum b) {
 517     int amax = a[0], bmax = b[0];
 518     int i = (amax > bmax ? amax : bmax);
 519     while (i) {
 520         unsigned short aval = (i > amax ? 0 : a[i]);
 521         unsigned short bval = (i > bmax ? 0 : b[i]);
 522         if (aval < bval) return -1;
 523         if (aval > bval) return +1;
 524         i--;
 525     }
 526     return 0;
 527 }
 528
 529 /*
 530  * Right-shift one bignum to form another.
 531  */
 532 Bignum bignum_rshift(Bignum a, int shift) {
 533     Bignum ret;
 534     int i, shiftw, shiftb, shiftbb, bits;
 535     unsigned short ai, ai1;
 536
 537     bits = ssh1_bignum_bitcount(a) - shift;
 538     ret = newbn((bits+15)/16);
 539
 540     if (ret) {
 541         shiftw = shift / 16;
 542         shiftb = shift % 16;
 543         shiftbb = 16 - shiftb;
 544
 545         ai1 = a[shiftw+1];
 546         for (i = 1; i <= ret[0]; i++) {
 547             ai = ai1;
 548             ai1 = (i+shiftw+1 <= a[0] ? a[i+shiftw+1] : 0);
 549             ret[i] = ((ai >> shiftb) | (ai1 << shiftbb)) & 0xFFFF;
 550         }
 551     }
 552
 553     return ret;
 554 }
 555
 556 /*
 557  * Non-modular multiplication and addition.
 558  */
 559 Bignum bigmuladd(Bignum a, Bignum b, Bignum addend) {
 560     int alen = a[0], blen = b[0];
 561     int mlen = (alen > blen ? alen : blen);
 562     int rlen, i, maxspot;
 563     unsigned short *workspace;
 564     Bignum ret;
 565
 566     /* mlen space for a, mlen space for b, 2*mlen for result */
 567     workspace = malloc(mlen * 4 * sizeof(unsigned short));
 568     for (i = 0; i < mlen; i++) {
 569         workspace[0*mlen + i] = (mlen-i <= a[0] ? a[mlen-i] : 0);
 570         workspace[1*mlen + i] = (mlen-i <= b[0] ? b[mlen-i] : 0);
 571     }
 572
 573     internal_mul(workspace+0*mlen, workspace+1*mlen, workspace+2*mlen, mlen);
 574
 575     /* now just copy the result back */
 576     rlen = alen + blen + 1;
 577     if (addend && rlen <= addend[0])
 578         rlen = addend[0] + 1;
 579     ret = newbn(rlen);
 580     maxspot = 0;
 581     for (i = 1; i <= ret[0]; i++) {
 582         ret[i] = (i <= 2*mlen ? workspace[4*mlen - i] : 0);
 583         if (ret[i] != 0)
 584             maxspot = i;
 585     }
 586     ret[0] = maxspot;
 587
 588     /* now add in the addend, if any */
 589     if (addend) {
 590         unsigned long carry = 0;
 591         for (i = 1; i <= rlen; i++) {
 592             carry += (i <= ret[0] ? ret[i] : 0);
 593             carry += (i <= addend[0] ? addend[i] : 0);
 594             ret[i] = (unsigned short) carry & 0xFFFF;
 595             carry >>= 16;
 596             if (ret[i] != 0 && i > maxspot)
 597                 maxspot = i;
 598         }
 599     }
 600     ret[0] = maxspot;
 601
 602     return ret;
 603 }
 604
 605 /*
 606  * Non-modular multiplication.
 607  */
 608 Bignum bigmul(Bignum a, Bignum b) {
 609     return bigmuladd(a, b, NULL);
 610 }
 611
 612 /*
 613  * Convert a (max 16-bit) short into a bignum.
 614  */
 615 Bignum bignum_from_short(unsigned short n) {
 616     Bignum ret;
 617
 618     ret = newbn(2);
 619     ret[1] = n & 0xFFFF;
 620     ret[2] = (n >> 16) & 0xFFFF;
 621     ret[0] = (ret[2] ? 2 : 1);
 622     return ret;
 623 }
 624
 625 /*
 626  * Add a long to a bignum.
 627  */
 628 Bignum bignum_add_long(Bignum number, unsigned long addend) {
 629     Bignum ret = newbn(number[0]+1);
 630     int i, maxspot = 0;
 631     unsigned long carry = 0;
 632
 633     for (i = 1; i <= ret[0]; i++) {
 634         carry += addend & 0xFFFF;
 635         carry += (i <= number[0] ? number[i] : 0);
 636         addend >>= 16;
 637         ret[i] = (unsigned short) carry & 0xFFFF;
 638         carry >>= 16;
 639         if (ret[i] != 0)
 640             maxspot = i;
 641     }
 642     ret[0] = maxspot;
 643     return ret;
 644 }
 645
 646 /*
 647  * Compute the residue of a bignum, modulo a (max 16-bit) short.
 648  */
 649 unsigned short bignum_mod_short(Bignum number, unsigned short modulus) {
 650     unsigned long mod, r;
 651     int i;
 652
 653     r = 0;
 654     mod = modulus;
 655     for (i = number[0]; i > 0; i--)
 656         r = (r * 65536 + number[i]) % mod;
 657     return (unsigned short) r;
 658 }
 659
 660 static void diagbn(char *prefix, Bignum md) {
 661     int i, nibbles, morenibbles;
 662     static const char hex[] = "0123456789ABCDEF";
 663
 664     printf("%s0x", prefix ? prefix : "");
 665
 666     nibbles = (3 + ssh1_bignum_bitcount(md))/4; if (nibbles<1) nibbles=1;
 667     morenibbles = 4*md[0] - nibbles;
 668     for (i=0; i<morenibbles; i++) putchar('-');
 669     for (i=nibbles; i-- ;)
 670         putchar(hex[(bignum_byte(md, i/2) >> (4*(i%2))) & 0xF]);
 671
 672     if (prefix) putchar('\n');
 673 }
 674
 675 /*
 676  * Greatest common divisor.
 677  */
 678 Bignum biggcd(Bignum av, Bignum bv) {
 679     Bignum a = copybn(av);
 680     Bignum b = copybn(bv);
 681
 682     diagbn("a = ", a);
 683     diagbn("b = ", b);
 684     while (bignum_cmp(b, Zero) != 0) {
 685         Bignum t = newbn(b[0]);
 686         bigmod(a, b, t, NULL);
 687         diagbn("t = ", t);
 688         while (t[0] > 1 && t[t[0]] == 0) t[0]--;
 689         freebn(a);
 690         a = b;
 691         b = t;
 692     }
 693
 694     freebn(b);
 695     return a;
 696 }
 697
 698 /*
 699  * Modular inverse, using Euclid's extended algorithm.
 700  */
 701 Bignum modinv(Bignum number, Bignum modulus) {
 702     Bignum a = copybn(modulus);
 703     Bignum b = copybn(number);
 704     Bignum xp = copybn(Zero);
 705     Bignum x = copybn(One);
 706     int sign = +1;
 707
 708     while (bignum_cmp(b, One) != 0) {
 709         Bignum t = newbn(b[0]);
 710         Bignum q = newbn(a[0]);
 711         bigmod(a, b, t, q);
 712         while (t[0] > 1 && t[t[0]] == 0) t[0]--;
 713         freebn(a);
 714         a = b;
 715         b = t;
 716         t = xp;
 717         xp = x;
 718         x = bigmuladd(q, xp, t);
 719         sign = -sign;
 720         freebn(t);
 721     }
 722
 723     freebn(b);
 724     freebn(a);
 725     freebn(xp);
 726
 727     /* now we know that sign * x == 1, and that x < modulus */
 728     if (sign < 0) {
 729         /* set a new x to be modulus - x */
 730         Bignum newx = newbn(modulus[0]);
 731         unsigned short carry = 0;
 732         int maxspot = 1;
 733         int i;
 734
 735         for (i = 1; i <= newx[0]; i++) {
 736             unsigned short aword = (i <= modulus[0] ? modulus[i] : 0);
 737             unsigned short bword = (i <= x[0] ? x[i] : 0);
 738             newx[i] = aword - bword - carry;
 739             bword = ~bword;
 740             carry = carry ? (newx[i] >= bword) : (newx[i] > bword);
 741             if (newx[i] != 0)
 742                 maxspot = i;
 743         }
 744         newx[0] = maxspot;
 745         freebn(x);
 746         x = newx;
 747     }
 748
 749     /* and return. */
 750     return x;
 751 }
 752
 753 /*
 754  * Render a bignum into decimal. Return a malloced string holding
 755  * the decimal representation.
 756  */
 757 char *bignum_decimal(Bignum x) {
 758     int ndigits, ndigit;
 759     int i, iszero;
 760     unsigned long carry;
 761     char *ret;
 762     unsigned short *workspace;
 763
 764     /*
 765      * First, estimate the number of digits. Since log(10)/log(2)
 766      * is just greater than 93/28 (the joys of continued fraction
 767      * approximations...) we know that for every 93 bits, we need
 768      * at most 28 digits. This will tell us how much to malloc.
 769      *
 770      * Formally: if x has i bits, that means x is strictly less
 771      * than 2^i. Since 2 is less than 10^(28/93), this is less than
 772      * 10^(28i/93). We need an integer power of ten, so we must
 773      * round up (rounding down might make it less than x again).
 774      * Therefore if we multiply the bit count by 28/93, rounding
 775      * up, we will have enough digits.
 776      */
 777     i = ssh1_bignum_bitcount(x);
 778     ndigits = (28*i + 92)/93;          /* multiply by 28/93 and round up */
 779     ndigits++;                         /* allow for trailing \0 */
 780     ret = malloc(ndigits);
 781
 782     /*
 783      * Now allocate some workspace to hold the binary form as we
 784      * repeatedly divide it by ten. Initialise this to the
 785      * big-endian form of the number.
 786      */
 787     workspace = malloc(sizeof(unsigned short) * x[0]);
 788     for (i = 0; i < x[0]; i++)
 789         workspace[i] = x[x[0] - i];
 790
 791     /*
 792      * Next, write the decimal number starting with the last digit.
 793      * We use ordinary short division, dividing 10 into the
 794      * workspace.
 795      */
 796     ndigit = ndigits-1;
 797     ret[ndigit] = '\0';
 798     do {
 799         iszero = 1;
 800         carry = 0;
 801         for (i = 0; i < x[0]; i++) {
 802             carry = (carry << 16) + workspace[i];
 803             workspace[i] = (unsigned short) (carry / 10);
 804             if (workspace[i])
 805                 iszero = 0;
 806             carry %= 10;
 807         }
 808         ret[--ndigit] = (char)(carry + '0');
 809     } while (!iszero);
 810
 811     /*
 812      * There's a chance we've fallen short of the start of the
 813      * string. Correct if so.
 814      */
 815     if (ndigit > 0)
 816         memmove(ret, ret+ndigit, ndigits-ndigit);
 817
 818     /*
 819      * Done.
 820      */
 821     return ret;
 822 }